先说答案：
1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)ⁿ⁻¹/n+…=ln2。
小编知道这个答案其实是在学习了函数的幂级数之后。
如果会算等比数列的前n项和，那么就能轻松地理解下面的等式：
1/(1+x)=1-x+x²-x³+…+(-1)ⁿxⁿ+… （-1＜x＜1） （式1）
对式1等号两边从0到x积分可得
ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…+(-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n+… （-1＜x≤1） （式2）
将x＝1代入，
1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)ⁿ⁻¹/n+…=ln2。
这样就得到了问题的答案。
注意式2成立的条件是（-1＜x≤1），比式1成立的条件（-1＜x＜1）多了个x＝1。对此，我们可以运用幂级数的和函数的性质来分析。
幂级数有这样一个性质，它的和函数在其收敛域上连续并且可积，可以像式1推导到式2那样对级数在0到x上逐项进行积分，并且逐项积分之后的和仍然等于其和函数直接在0到x上积分的值。逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径，故式2在(-1＜x＜1)时成立并不难理解。
而当x=1时，
x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…+(-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n+…
即1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)ⁿ⁻¹/n+…其实是一个交错级数，它满足莱布尼茨定理，它是收敛的。到此，已经确定级数
x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…+(-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n+…
在(-1,1]上是收敛的。再根据幂级数和函数在收敛域上连续可以知道此级数的和函数在x=1处的值一定等于其在x=1处的左极限ln2。所以在x=1时其和函数仍用ln(x+1)表示没毛病。
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