在数学中，希尔伯特空间（以大卫·希尔伯特命名）允许将线性代数和微积分的 从二维和三维欧几里得空间推广到可能具有无限维数的空间。希尔伯特空间是一个具有内积运算的向量空间，它允许定义距离函数和垂直度（称为正交性）。此外，对于这个距离，希尔伯特空间是完备的，这意味着空间中有足够的限制，可以使用微积分技术。
希尔伯特空间在数学和物理中自然而频繁地出现，典型的是无穷维函数空间。在偏微分方程、量子力学、傅立叶分析（包括信号处理和传热的应用）和遍历理论（形成热力学的数学基础）中，它们是不可或缺的工具。约翰·冯·诺伊曼创造了希尔伯特空间这个术语，用来描述这些不同应用的抽象概念。希尔伯特空间 的成功开创了一个非常富有成果的泛函分析时代。除了经典的欧几里得空间外，希尔伯特空间的例子还包括平方可积函数空间、序列空间、由广义函数组成的索伯列夫空间和全纯函数的哈代空间。
几何直觉在希尔伯特空间理论的许多方面都起着重要的作用。毕达哥拉斯定理和平行四边形定律在希尔伯特空间中有确切的类比。在更深层次上，在子空间上的垂直投影在优化问题和理论的其他方面起着重要的作用。希尔伯特空间理论是代数、拓扑和几何的融合。
概述
我们已经熟悉代数和几何的融合，即在线性空间R^n中。R^n中的元素可以看作是n维空间中的点，也可以看作是向量。通常，点有坐标，矢量可以相加和缩放。而且，在标准内积存在的情况下，内积由下式给出：
向量的长度是由范数给出的：
在这个意义上，代数和几何之间的“相互作用”是相当平滑的。不过，只要考虑到无限维线性空间，情况就会发生变化，这也是拓扑学出现的地方。
对于无限维线性空间，所有的线性算子都是连续的，算子的收敛具有单一的含义，任何线性空间都与它的双重对偶自然同构，而且封闭单位球是紧凑的。这些便利条件在无限维的情况下并不存在。虽然基数确实存在，但其存在的证明是非结构性的，而且往往不能明确地给出基数。因此，依靠坐标和矩阵的技术通常是不合适的。线性算子不一定是连续的，事实上，许多感兴趣的线性算子都不是连续的。由两个线性空间之间的所有线性算子组成的空间带有两种不同的拓扑结构，因此也有两种不同的收敛概念。对偶空间的正确概念是所有连续线性算子进入地五十度的空间，即使如此，原空间也只嵌入其双重对偶中。最后，封闭的单位球并不紧凑。
从某种意义上说，希尔伯特空间理论的目的是开发适当的机制，以便能够推理无限维线性空间，并在这些固有的困难和拓扑学的微妙之处加以考虑。因此，研究希尔伯特空间所需的数学背景包括线性代数、拓扑学、公制空间理论和规范空间理论。拓扑群的理论，即群论和拓扑学的融合，也自然而然地产生了。在我们继续阐述这些主题之前，我们先来看看它们中最基本的空间，即实数空间。
实数，一切开始的地方
对于人类观察外部世界来说，最基本的是实数。测量的结果几乎总是被认为是一个实数（至少在某种理想意义上）。这种理想化深深扎根于科学界的传说中，实数的名字就证明了这一点；在所有的数字中，这些都是实数。无论科学对实数的强烈偏好的原因是什么，都是哲学家们的争论。我们只是观察到，无论实数的使用是否合理，实数在科学中的成功是毋庸置疑的。
不过在数学上，实数提出了几个非微不足道的挑战。其中一个挑战是实数的定义，或者换句话说，回答这个问题：什么是实数？对于古希腊人来说，大致上直到毕达哥拉斯派，实数被认为是理所当然的，与我们今天所说的理性数相同。在发现"√2 "是一个无理数之前，这一直是人们普遍持有的信念（这一发现的确切情况尚不清楚）。为实数构建精确的模型需要等待无数个世纪，而超限数的发现和对有多少个实数的理解也是如此。
构造实数
读者很可能对实数有自己的看法。任何对实数的精确解释或说明都属于哲学范畴。从数学角度，我们现在提出一个精确的实数模型的许多构造之一。与任何模型的构建一样，一个人不可能从无到有地构建某些东西。因此，我们假定读者接受有理数（一个模型）的存在，且看法一致，但对实数系统却一无所知。我们将给出实数的精确结构。
为了从有理数推导出实数结构，我们知道有理数在实数中是密集的，意思是在任意两个实数之间存在一个有理数。这个简单的观察引出了一个关键的事实：每一个实数都是有理数序列的极限。因此，有理数的收敛序列使我们能够得到所有的实数。由于许多不同的有理数数列都可能收敛于同一实数。我们需要在它上面引入一个等价关系，它识别两个有理数序列，如果它们收敛于相同的实数。
综上所述，如果S表示所有的有理数序列收敛的***，那么我们期望能够确定一个等价关系~ S，使S/ ~形成实数的模型。然而，为了在不进入循环论证的情况下迈出之一步，我们必须首先能够在没有任何实数先验知识的情况下识别出所有有理数序列中的收敛序列。这是通过引用柯西数列的概念来完成的，柯西数列是实数数列的一个条件，众所周知，它等价于收敛。关键的观察是，有理数序列的柯西条件可以完全不提及实数。
超越数
在数学中，超越数是非代数数，也就是说，不是一个有限次有理数多项式的根。最著名的超越数是π和e。
虽然只有少数几类超越数是已知的，超越数并不罕见。事实上，几乎所有的实数和复数都是超越的，因为代数数构成了可数集，而实数集和复数集都是不可数集，因此大于任何可数集。所有超越的实数（也称为实数超越的无理数或超越的无理数）都是无理数，因为所有有理数都是代数数，但并不是所有的无理数都是超越的。因此，实数集由有理数、代数无理数和超越实数组成。例如，2的平方根是无理数，但它不是超越数。黄金比例是另一个非超越数的无理性数。
约瑟夫·刘维尔直到1844年才确立了超越数的存在，不久之后，他构建了之一个明确的超越数的例子。虽然我们对超越数已经了解了很多，但π +e是否是代数的还是未知的。
1884年，继刘维尔证明了超越数的存在之后不久，康托不仅证明了超越数的存在，而且还证明了绝大多数实数在某种意义上是超越的。康托使用的技术是超限计数法。利用***的基数概念，康托计算了有多少个代数数和有多少个实数，并证明了实数严格地多于代数数。超越数存在这一不可避免的结论，虽然遇到了一些阻力，却迫使我们面对下面同样不可避免的真理。与康托的代数数计算类似，我们也可以计算任何自然语言中的所有句子，例如英语。正如它所证明的，所有潜在的英文实数描述的基数与代数数的基数是相同的，因此严格小于所有实数的基数。我们现在必须得出这样的结论：存在一些实数，它们永远不可能被描述为任何形式。
线性空间
线性空间，也被称为向量空间，可能是数学空间中最简单的概念。当被认为是模拟实际的物理空间时，线性空间似乎在所有方向上都是相同的，并且完全没有任何曲率。线性空间，以及与线性变换或线性算子密切相关的概念，是基本的对象。例如，函数在一点上的导数更好理解为切线空间上的线性算子，特别是对于多变量函数。可微流形是非常复杂的空间，但在每一点上，它们都是局部线性的。这可能有点夸张，但众所周知，如果一个问题可以线性化，那么它就等于解决了。
拓扑空间
拓扑很容易定义，但很难解释。导致拓扑学发展的思想在表面之下潜伏了一段时间，很难确定拓扑学在历史上的确切时间诞生。可以肯定的是，拓扑学诞生后，在20世纪上半叶的发展非常迅速。拓扑的统一能力是巨大的，它的解释能力是强大的。例如，连续函数在闭区间上的极大极小的存在性，或连续函数在闭区间上的一致连续性，可能使闭区间显得具有特殊意义。拓扑学能够解释这种情况，确定闭区间的一个特定拓扑性质，即它是紧凑的，作为使证明能够延续到更一般情况下的关键成分。
度量空间（距离空间）
度量空间出现在1906年莫里斯的博士论文t中。度量空间是可以测量点之间距离的***，从某种意义上说，度量空间所携带的几何信息比拓扑空间所能描述的要多得多。公理越强，定理越强，但例子也越少。然而，度量空间的公理允许大量和各种各样的例子和定理。特别地，完全度量空间，即那些直观上没有孔的度量空间，有两个很强的定理。一个是巴拿赫不动点定理，另一个是贝瑞定理（Baire’s Theorem）。前者可用于求解微分方程，而后者对完备度量空间和连续函数的结构有深刻的影响。
赋范空间和巴拿赫空间
与向量相关的一个非常基本的属性是它的范数，也就是它的长度，其抽象形式是由赋范空间的公理给出的。范数的存在允许我们定义任意两个向量之间的距离，通过所谓的诱导度量，我们得到一个度量空间，以及它所诱导的拓扑结构。因此，任何赋范空间立即包含代数和几何。巴拿赫空间是一个赋范空间，作为度量空间，它是完备的。代数和几何之间的相互作用是特别强大的，允许非常强的结果。
拓扑群
巴拿赫空间是代数和几何的融合。类似地，拓扑群是代数和拓扑之间的融合。与巴拿赫空间不同的是，代数结构是群的代数结构，而几何从度规角度简化为拓扑。因此，一个拓扑群是一个比巴拿赫空间弱得多的结构，然而代数和拓扑之间的相互作用仍然产生了非常丰富和有趣的理论。
