例 1 证明对角行列式（其中对角线上的元素是，未写出的元素都是0）
证 之一式是显然的，下面只证第二式。
若记，则依行列式定义
,
其中为排列的逆序数，故。 证毕。
两个对角阵，我们可以理解为n维的正超立方体，只不过两者向量的方向不同。至于正负号的问题，我们有个简单的判断 *** 。以列为向量空间的维度数，从左到右设为1、2、...、n维，从1维到n维算起，向量坐标值的符号不变；从n维到1维算起，向量坐标值都取它的相反数，那么，偶数阶行列式不变号，奇数阶行列式变负号（2阶行列式除外）。
例2
对角线以下（上的元素都为0的行列式）叫做上（下）三角行列式，它的值与对角行列式一样。
证明下三角行列式
证 由于当时，，故中可能不为0的的元素，其下标应有，即。
在所有排列中，能满足上述关系的排列只有一个自然排列12...n，所以中可能不为0的项只有一项，此项的符号，所以。
任一元素的行、列标的组合是123...n对123...n的两两配对。以自然排列的情形为基础，互换两个列标，比如1、4互换，就会出现14和41两个配对。那样肯定有列标比行标大的情况。而在三角行列式中，当列标大于行标时，元素是0。那么，除了自然排列外，所有的排列都是0。
例3 设
证明 。
证 记，其中
。
考察的一般项
,
由于当时，，因此只有在中选取时，该项才可能不为0，而当在中选取时，只能在中选取。于是中可能不为0的项可以记作
，
这里，，而为排列的逆序数，以分别表示排列及的逆序数，应有。于是
这里面有点绕啊。我们先不看排列本身，而是看一个排列里面行标与列标的两两配对，行、列标都是12...k...n。有行标1~k配列标k~n，肯定就有列标1~k配行标k~n，所以在一个排列里，有ab的地方一定有c0，除非ab能把这个排列占满。
那么，所有排列可以分三类，ab排列、abc0排列，c0排列，只ab排列不为0。
