#头条青云“叫好又叫座”作品征集#
“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的更高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。”
——恩格斯
1.引言
如果要评选大学里最容易挂科的科目，我相信《高等数学》一定榜上有名，网上曾经流传过这样一个段子：
1669年，牛顿在剑桥大学升为数学教授。当时学校资金紧张，包括牛顿大部分教职工薪水已欠数月。为解决此问题，牛顿潜心研究创立了微积分，将一门名叫“高等数学”的新科目设为全校的必修课，并规定不及格者来年必须缴费重修直到通过。很快教师们的工资发了下来。
当然，这个段子是虚构的，牛顿当然不可能为了讨薪而创立一门新学科。不过我相信，这个段子确实能唤起不少人心中对数学的恐惧。
自17世纪牛顿和莱布尼兹创立微积分以来，数学便完成了由古典数学向近代数学的转换，经过不断地发展与完善，便形成了我们今天学习的《高等数学》。
高等数学是大学里面几乎所有专业都要学的，只不过有的专业会学得深一些，学到了《数学分析》；而有的专业学得浅，只学习《微积分》。
你喜欢也好，讨厌也罢，都不能否认高等数学是最为重要的科目之一。当然它的难度也是相当高的，让人看得云里雾里的极限定义，纷繁复杂的求导积分，令人头皮发麻的泰勒公式，以及天马行空般的中值定理，无不让每个初学者心有余悸。
左为牛顿，右为莱布尼兹
但其实，这些让你一辈子都不想再碰的东西，早在18世纪就已经有了。而经历了三个世纪的发展，数学已经到达了高度抽象化的阶段，人们发现了一系列前所未有的、违反人类直观的数学对象。比如其中最著名的魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)，它是一个处处连续，却无处可导的函数，它的出现颠覆了人们以往对导数的认识。
魏尔斯特拉斯函数的大致图像
一系列新研究对象的出现，使人们意识到了传统微积分理论的缺陷。二十世纪初，法国数学家勒贝格(Henri Léon Lebesgue，1875～1941)天才般的灵光乍现，提出了一种全新的定义积分的 *** ，非常完美地解决了这个缺陷。而当今数学家口里所说的微积分，都是指的这种新型的微积分。对于非数学专业的人，学习的则是旧的微积分。
也就是说，你在深夜自习室里抱着啃的那本绿皮的同济版《高等数学》，里面的内容其实早在100多年前就已经被淘汰了。不得不让很多小伙伴们，尤其是那些对数学抱有美好憧憬的小伙伴们，心中五味杂陈，但事实就是如此。
那么，我们学习的那种旧的微积分为什么会被淘汰呢？新的微积分又是什么？它和旧的微积分有什么区别？本篇文章就来详细介绍一下。
2.胜利
微积分的发明可以说是人类思想史上开天辟地的大事件。18～19世纪，它在各个自然科学里面都得到了广泛的应用，极大地推动了人类科学技术的进步。
顾名思义，微积分(calculus)是由微分(differentiation)和积分(integration)两部分组成。微分面临的主要问题是：如何求一个函数在某一瞬间的变化率？而积分面临的主要问题是：如何求不规则曲线围成的图形的面积？这两个问题都得到了完美的解决，二者统一与大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz formula)中，也称为微积分基本定理( Fundamental Theorem of Calculus)：
其实，如何求曲线围成的图形的面积是一个非常古老的问题，并且古代数学家们为了解决这个问题，已经产生了一些微积分的思想萌芽。比如古希腊的阿基米德，利用“穷竭法”来求解圆锥曲线。以及我国东汉时期的科学家、文学家刘徽，发明了“割圆术”来求圆形的面积，都是这一思想的重要体现。
割圆术的大概思想就是，用正多边形来逼近圆形。边数越多则误差越小，当边数趋近于无穷大时，极限就等于圆的面积。
这种思想也被包括牛顿和莱布尼斯在内的近代数学家们所继承下来。我们在求一条函数曲线下方的图形面积时。用的 *** 就是把它竖着切割成很多小长条，每一个小长条都是一个长方形，因此它的面积是很容易求的，再把所有小长条的面积加在一起。当小长条的个数达到无限大，换句话说，把整个区间分割成无限细的时候，它的极限就是我们要求的面积值：
1853年，德国数学里黎曼(Bernhard Riemann, 1826～1866)，对！就是提出“黎曼猜想”的那个黎曼，用精确的数学语言给出了这种 *** 的叙述。这就是我们在高等数学课本上看到的那个定积分的定义。
简单来说，对于函数f(x)，其在闭区间[a,b]上围成的面积。首先把闭区间分割成很多小的子区间，然后在每个子区间上随便找一点，以这点的函数值为高做一个长方形，这样这一个小长方形的面积就是这个小段的宽度乘以高。所有小长方形的面积加在一起，再求一个极限就得到了整个函数曲线围成的面积，用式子写出来就是：
由于这个式子是黎曼给出来的，因此右边那个求和式子也被称为“黎曼和”(Riemann sum)，这种定积分也被称为“黎曼积分”(Riemann integral)。
不仅如此，牛顿-莱布尼兹公式还给出了计算黎曼积分的 *** ，即原函数在两点取值的差。
黎曼，高斯的传人
至此为止，人类在数学上取得了巨大的成功！我们竟然连曲线围成的面积都会计算了。从此，大到宇宙天体的运行规律，小到原子分子的结构组成，乃至人类社会的组织行为和个人的消费选择，全部被纳入到微积分这个框架之下。之前隐藏在大自然中的奥秘一个一个的被揭露出来，人类仅仅凭借自己的理性便掌握了上帝创造出来的这个世界的内在规律。因此这套理论的创始人牛顿便被人们誉为“最接近上帝的人”。
人类陶醉于这种精神的巨大胜利之中，因此才有了开头恩格斯的那段话。
3.阴霾
等等，千万不要高兴的太早！历史一再提醒我们。
当时，人们在自然科学中接触的函数基本都是连续函数，而连续函数的定积分都是非常容易求的。即使是有间断点，那也是有限的几段，只需要每一段上分别求定积分，最后加在一起就可以了。
而人们对于函数的认识也是比较肤浅的，当时人们觉得，一个函数就是一个y关于x的表达式，而我们也可以自然地画出它的图像来。然而这种观点很快就被打破了。
1837年，德国数学家狄利克雷(Dirichlet, 1805～1859)突破了这个框架，他认为函数就是***中两个元素的对应关系，而不必非得有一个表达式，于是提出了函数就是x与y之间的一种对应关系的现代观点。我们现在教科书上的关于函数的定义，基本上就是沿袭了这种观点。
狄利克雷
为了说明这一观点，狄利克雷就构造了一个人们以前从来没有见过的函数，就是我们现在被称之为狄利克雷函数(Dirichlet function)的函数，它的函数表达式如下：
这个函数的图像让人想想就头皮发麻：在实数轴上有无数多个密密麻麻的有理数，同时还有无数多个密密麻麻的无理数。因此它的图像也是如此的诡异：在y=1的地方密密麻麻分布着无数个点，但是因为有无理数的存在，所以这些点彼此又存在无数多的空隙，不能连成一条连续的直线，同样道理，在x轴上也是如此！这样的图像我们想试用笔画出来是万万不可能的。
起初人们只是认为，像狄利克雷函数这种病态函数只是一个思维游戏，我们理它作甚！但是随着后来更多的病态函数不断涌现，人们不得不去思考这类函数的意义与性质。此时数学家惊恐地发现，这类函数彻底颠覆了之前的关于函数的那种直观想象，它甚至是不可求定积分的！
这究竟是怎么一回事？就以[0,1]闭区间为例子。我们来反思一下黎曼积分的定义，它是一个极限表达式，而我们在学极限的时候知道，极限有可能是收敛的，也有可能是发散的。
因为有理数和无理数是密密麻麻的排列在实数轴上的，所以一个小区间无论多么的短，它里面都包含着无数多有理数和无理数。那么我们可以进行下面的操作。
第1种 ***每个小区间段上，我们取无理数点的值为高，即0，这样算下来，每个小长方形面积都是0，加在一起自然也是0。
第2种 ***每个小区间段上，我们取有理数点的值为高，即1，那这样算出来，每个小长方形的面积就等于小区间段的长度加在一起就等于0～1的长度，就是1。
所以，就算你的区间段长度趋近于0，但是我们总可以找到一种办法让它的取值等于0，同时有另一种办法让它的取值等于1，相当于发散成两个数列。这样一来它的极限不也就不存在了吗？
而定积分就等于这个极限，极限不存在就说明定积分不存在。于是人类发现了一个不可求定积分的函数。
数学家不得不把函数分为两类，一类可以求定积分，称为“黎曼可积”(Riemann integrable)，另一类则是黎曼不可积。狄利克雷函数就是最典型的黎曼不可积函数。
狄利克雷函数的出现，不仅使人们重新认识了函数这个概念的本质，同时还动摇了人们关于微积分的信心。既然有黎曼不可积函数的存在，那我们这套理论不是白弄了吗？数学家们的心头蒙上一层阴霾。
4.曙光
每当遭遇危机，便是英雄出世的年代。此时，我们的英雄——勒贝格，终于出场了。
勒贝格1875年生于法国博韦，1894～1897年在巴黎高等师范学校(École normale supérieure，ENS)学习。相信熟悉法国科学史的人对这个名字一定不陌生，它是法国最顶尖的大学，诞生了拉格朗日，拉普拉斯，柯西，傅里叶，伽罗瓦，勒让德等一大批数学***。勒贝格1902年在巴黎大学获得博士学位，从此在法国多所大学任教。1922年当选为巴黎科学院院士。
勒贝格更大的贡献便是改造了传统的定积分理论，提出了勒贝格测度(Lebesgue measure)和勒贝格积分(Lebesgue integral)这一全新类型的积分。因其在历史上的巨大贡献，被人们誉为法国数学界第四个“L”，前三个分别是拉普拉斯(Laplace)，拉格朗日(Lagrange)和勒让德(Legendre)。
勒贝格
我们来看一下勒贝格是如何解决传统微积分的困难的。
勒贝格首先分析了像狄利克雷函数这种病态函数黎曼不可积的原因，他认为，问题的关键在于狄利克雷函数“震荡”得太剧烈了，不管你的Δx多么小，总可以找到两个y值的差为1，这样一来自然是黎曼不可积的。
于是勒贝格天才般的转换了一下思路，我们为什么要把这个图形竖着切成长条呢，对于狄利克雷函数，你无论竖着怎么切都是不可以的。那我们如果横着来切会怎么样？比如下面这个图形。
黎曼积分与勒贝格积分示意图
对于同一个图形，上面就是按照黎曼的 *** 竖着切，而下面便是按照勒贝格的 *** 横着切。
可以看出，如果横着切的话，当小长条的个数无限多，换句话说，当每一个小长条无限扁的话，它们求和的极限也可以等于整个图形的面积。
这就是勒贝格积分的核心思想。
为了准确定义勒贝格积分，我们还需要一点勒贝格测度的知识。
所谓测度(measure)，具体来讲就是几何图形范围的一种度量。比如线段用长度来度量，平面图形用面积来度量，立体图形用体积来度量，这些都是一些测度。对于直线上，也就是数轴上，一些简单图形的测度是非常好计算的，比如闭区间[a,b]的测度就是b-a，但是对于一些复杂的图形，比如闭区间[0,1]上所有的有理点所组成的这个数集，它的测度计算就非常困难了。而利用传统的测度计算 *** 来计算这个数集的测度，不是无法计算，就是计算出来会产生矛盾。
而勒贝格另一个伟大的创造便是提出了一种计算测度的新 *** ，即勒贝格测度(Lebesgue measure)，用勒贝格的 *** 可以方便地算出，闭区间[0,1]上所有有理点组成的数集的测度为0。
边长为1 的正方体，勒贝格测度为1
于是就可以大致的来说一下，一个函数f(x)在闭区间[a,b]的勒贝格积分是如何定义的。
首先找到f(x)在闭区间[a,b]上的值域，然后把值域分成很多小段儿，每一个小段对应着一个横的长条。这个长条的宽度其实就是它的勒贝格测度，再用它乘以这个小的高度就可以得到小长条的面积。所有小长条的面积加在一起再求极限，如果极限存在，那么就称这个函数是“勒贝格可积”的(Lebesgue integrable)，积分值就是极限值，否则就是勒贝格不可积，这就是大名鼎鼎的勒贝格积分理论。
那么勒贝格的这套积分理论是否解决了的利克雷函数可积性的问题呢？是可以的，就是说狄利克雷函数是勒贝格可积的。
狄利克雷函数的大概图像
我们来看一下，按照这种操作 *** ，我们先在y=0的附近横着切一个长条，它对应的就是所有无理数，其勒贝格测度为1。在在y=1的附近横着切一个长条，它对应的就是所有有理数，其勒贝格测度为0。
底下那个长条当高度趋近于无限小时面积也就趋近于0了，上面那个长条因为有理数集的测度为0，因此面积值也是0。
而介于0～1之间的部分，无论你怎么分割值域，它对应的都是全体有理数测度为0，因此面积也是0。
总体算下来，它的极限值就是0，因此狄利克雷函数在[0,1]区间上是勒贝格可积的，并且积分值为0。
5.新的希望
勒贝格自己就曾对这种新的思想 *** 做过一个生动的比喻：
假设桌子上放着三摞硬币，我想数一数一共有多少枚。
传统的 *** 是一摞一摞数，之一摞数出来有17枚，第二摞有4枚，第三摞有10枚，于是总共就是31枚。这代表的其实就是黎曼积分。
而勒贝格积分的 *** 则是，横着来一层一层数。比如1～4层，每层有三枚，一共12枚。5～10层，每层有2枚，一共也是12枚。11～17层，每层有一枚，一共有7枚，这样总共算下来也是31枚。
这个例子非常漂亮地揭示了勒贝格积分的思想 *** 。
讲到这里，估计很多小伙伴会垂头丧气：原来在大学课堂上那个虐我千百遍的高数，那个让我熬夜刷题费了九牛二虎之力才勉强凑了个及格的高数，在100多年前就已经过时了，我们辛辛苦苦，只学了一个被淘汰的东西。
其实大可不必如此，数学家进一步研究发现，但凡黎曼可积的函数，一定是勒贝格可积的，并且它的黎曼积分值就等于勒贝格积分值。也就是说黎曼积分，只是勒贝格积分的一个特例，从这个角度讲，我们学习黎曼积分仍然是有意义的。
黎曼积分与勒贝格积分的关系
数学家还发现了另外一个十分惊人的结论：勒贝格可积函数是黎曼可积函数的完备化(completeness)。这句话比较难理解，需要知道一点点关于范数(norm)的知识。范数的知识在我的另一篇文章里曾经介绍过，链接如下：
只有数才有绝对值吗？
勒贝格可积函数是黎曼可积函数的完备化，大致的意思是说，函数本身具有范数，函数与函数也可以相加相减相乘相除，因此由函数组成的***也是具有一定的内在结构的。
而把所有黎曼可积的函数拿出来做成一个***，这个***的内在结构是残破的。但如果把勒贝格可积的函数也放进来，正好就把这个破口堵上了，结构就是非常完备的。这个结论也深刻揭示了勒贝格积分与黎曼积分的内在联系。
对于非数学专业的学生，比如工科，经济学，管理学等等，学习高等数学里的黎曼积分就够了。这是因为在自然科学领域和经济学领域，我们碰到的函数基本都是连续函数，碰不到像狄利克雷函数那种病态函数，所以黎曼积分理论就完全足够了。
而对于数学专业的学生而言，勒贝格积分是必学的内容。因为在数学研究中，数学家所说的积分，通常默认指的就是勒贝格积分，这是由勒贝格积分相较于黎曼积分的优越性而决定的。
当然，积分理论到此为止了吗？远远没有。随着数学理论的不大发展，数学家们又发现了更多的积分类型，比如概率论中的黎曼-斯蒂尔斯积分(Riemann-Stieltjes integral)等等，在微分几何和拓扑学中还有更多更复杂的积分形式。数学中有着太多的奥秘，等着我们去探索、去发现。
参考文献
[1] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC
[2] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE
[3] 实变函数与泛函分析基础(第二版），程其襄，张奠宙，北京，高等教育出版社
[4] 实变函数论(第二版)，周民强，北京，北京大学出版社
[5] 《数学分析》华东师范大学数学系，第四版，北京，高等教育出版社
