20世纪美国著名哲学家卡尔纳曾说："自然可以用相对低次的数学方程解释，这真是件惊奇和幸运的历史上最伟大的事。"
人类在认识世界的过程中，学会用抽象、简洁的方程式来高度归纳科学规律，从亚里士多德、牛顿、爱因斯坦的时代直到今天，无数的方程展现了人们破解物质运动、光电闪耀、时空变幻等自然现象的曲折经历，彰显了人类百折不挠的探索精神。
方程是刻画现实世界的一个重要模型.在运用方程解决实际问题的过程中，设立未知数据是首要环节.在设未知数时需有所选择，不同的设元 列出的方程有的简单、有的复杂。
直接设元、间接设元、辅助设元、整体设元是设元技巧的常见表现形式。
《九章算术》是古代最重要的数学典籍之一，是中国古代数学从汉代直到元代前期一直处于世界数学的前列的基础。涉及到"遍乘直除"法的计算，此法解线性方程组是世界上最早、最完整的线性方程组解法。《九章算术》博大精深，其中所蕴含的数学思想对今日数学的创造仍有重要的启发意义。
《九章算术》中的"方程",实际是线性方程组。"方程术"解线性方程组的 是世界上最早的完整的线性方程组解法。现今矩阵变换中的一些性质,诸如,对方程组的增广矩阵进行初等变换不改变方程组的解,对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩等,在方程术及刘徽注中都有其理论依据。
宋代数学家秦九韶将刘徽解"方程"的"遍乘直除"改为"互乘相消法"，明清数学家梅文鼎又进一步改变秦九韶将系数方阵一直化为单位方阵的规范做法,化到三角方阵为止,使计算步骤大为简化.至此,我国关于线性方程组解法与现行通用的所谓高斯解法毫无二致,且在计算步骤更简捷明快。
例1. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗，价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱．现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？请你建立适当的数学模型，解决上面问题．
【解答】：设买美酒x斗，普通酒y斗，
答：买美酒0.25斗，普通酒1.75斗．
变式1.《九章算术》中有这样一个问题，原文如下：
"今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？"
大意为：
几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人？物品的价格是多少钱？（注："钱"为中国古代的货币单位）
请解答上述问题．
【解答】：设有x人，依题意，得：8x﹣3＝7x+4，
解得：x＝7，∴8x﹣3＝53．
答：有7人，物品的价格是53钱．
变式2. 中国古代算书《算法统宗》中有这样一道题：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半（注：四分之一的意思）群，得你一只来方凑．玄机奥妙谁参透？大意是说：牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧，有一个过路人牵着1只肥羊从后面跟了，上来，他对牧羊人说你赶的这群羊大概有100只吧？牧羊人答道：如果这一群羊加上1倍，再加上原来羊群的一半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好满100只．你知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少只吗？
【解析】设牧羊人放牧的这群羊一共有x只，根据"如果这一群羊加上1倍，再加上原来羊群的一半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好满100只"，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
答：牧羊人放牧的这群羊一共有36只．
例2．10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报2的人心里想的数是 ．
【解析】：设报2的人心里想的数是x，则报4的人心里想的数应该是6﹣x，
于是报6的人心里想的数是10﹣（6﹣x）＝4+x，报8的人心里想的数是14﹣（4+x）＝10﹣x，报10的人心里想的数是18﹣（10﹣x）＝8+x，
报2的人心里想的数是2﹣（8+x）＝﹣6﹣x，∴x＝﹣6﹣x，
解得x＝﹣3．故答案：﹣3．
本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决 有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的 ，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．
例3．小王问班主任仇老师家的 号码是多少，仇老师说想知道我家的 号码．你得动点脑筋．接着又说，我家的 号码是八位数，这个数的前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，巧的是，这个号码的后五位数字也是连续的自然数．请你根据上述条件帮助小王得到仇老师家的 号码．
【解析】分两种情况进行讨论，①后五位数是依次增加的数，②后五位数是依次减小的数，然后根据题意列出方程即可求出结果．
①后五位数是依次增加的数．
设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x+1，x+2，x+3，x+4，
根据题意，得：4x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）＝10（x+3）+（x+4），
解得：x＝﹣8 不符合实际意义．
②后五位数是依次减小的数．
设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣4，
根据题意得：4x+（x﹣1）+（x﹣2）+（x﹣3）+（x﹣4）＝10（x﹣3）+（x﹣4），
解得：x＝8．
所以后四位数为7654，因此老师家的 号码为 88887654．
解答本题的关键是分类讨论，弄清楚后五位数是依次减小还是依次增加，有一定难度．间接设元，即所设的不是所求的量，需要将所求的量以外的其他量设为未知数，便于得出符合题意的等量关系。
著名科学家牛顿写过一本数学书，书里提出一道牛在牧场里吃草的问题，这就是广为人知的"牛吃草问题"，也称"牛顿问题"。牛顿提出的原题比较复杂，后来常见的是简化版本，请先看题目：
例4．有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
【解析】：需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量之间的关系，故需增设一些辅助未知数，便于把这些关系表示出来.
设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
（1）由题意得：
由②﹣①得 b＝12c④
由③﹣②得 （x﹣8）b＝（16x﹣168）c⑤
将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得 x＝18
（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y≤b/c＝12．
答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛．
有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座"桥梁"，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的"设而不求"．
例5.实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示.若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升5/6cm，则开始注水______分钟后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.
··分析与解本例涉及底面积、注水速度、注水时间，而解题的关键是在理解题意的基础上分类讨论.
可设甲、乙、丙的底面积分别为S，4S，S，向乙、丙注水的时间为t分钟.因为每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，所以当注水1分钟时可求出丙的水位上升高度：
设开始注水t分钟后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，而甲与乙的水位高度之差是0.5cm时有三种情形：
例6.瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707-1783）是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了886本（篇）书籍和论文.著名数学家拉普拉斯说过："读读欧拉，他是我们所有人的导师."是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影。
下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题.
有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：之一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多.问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？
例7．校园安全是学校教育管理工作中的重要组成部分．某中学新建了一栋4层的教学楼，每层有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过680名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过960名学生
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生？（列方程解决问题）
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这四道门安全撤离．假设这栋大楼每间教室最多有50名同学，问建造的这四道门是否符合安全规定？请说明理由．
【解析】（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，根据"当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过680名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过960名学生"，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用学生总人数＝每间教室最多的学生数×每层教室的间数×楼层数可求出这栋大楼最多拥有学生数，再利用5分钟可通过的学生数＝时间×4道门每分钟可通过的学生数即可求出5分钟可通过学生数，将二者进行比较后即可得出结论．
（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，
答：平均每分钟一道正门可以通过140名学生，一道侧门可以通过100名学生．
（2）符合安全规定，理由如下：
这栋大楼最多拥有学生数为50×8×4＝1600（名），
5分钟可通过学生数为5×（1﹣20%）×（140×2+100×2）＝1920（名）．
∵1920＞1600，
∴建造的这四道门符合安全规定．
2005年国际物理年一个纪念会会场的入口标志，该设计的灵感源于爱因斯坦的质能方程。1905年，当时在瑞士专利局担任普通职员的一位26岁的青年得到了一个关系式，那就是世界上最有名的方程：E=mc2。该方程以简洁的语言揭示了一个令人难以置信的事实："一块普通石头，其中竟然蕴藏着足以毁灭一座城市的巨大能量。"
英国著名物理学家麦克斯韦用方程组统一了电、磁和光学，构建了统一的经典电动力学，这是一个宏伟的数学表达，其深奥、美妙、简洁，正如诗人所赞美的：
是哪位神明写出了这些符号？灵魂的渴望平静下来,让大自然的秘密向我敞开,我们欣赏方程。
欣赏方程中的数学本质——方程是基于"式"的运算；欣赏方程中的理性精神——方程是探寻"未知"的绝佳思维模式；欣赏方程中深刻的数学模型——方程是"好数学"的典范；欣赏方程中思维内在的和谐——方程是还原与对消中寻找不变量。
