对称变换,为什么实对称矩阵相似对角化要对基础解系正交变换

对称变换，为什么实对称矩阵相似对角化要对基础解系正交变换？

实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵一般都是为了简化后续的计算。

因为实对称矩阵是特殊的矩阵。他的特点就是可以正交对角化（一般的矩阵只能相似对角化）即把特征向量组成的矩阵再进行斯密特正交化以及单位化 这样做的目的是使得P的逆矩阵AP＝P的转置矩阵AP，即P的逆矩阵＝P的转置矩阵。

如果不进行正交化和对角化 则只是P的逆矩阵AP＝B 即A B相似。

扩展资料：

实对称矩阵主要性质：

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，也就是正交相似对角化。

这么做有好处：正交矩阵的逆矩阵很容易求，就是它的转置，不像一般的可逆阵需要半天才能求出来。如果是一个1000*1000的矩阵求逆，那要多长时间才能做完？但正交矩阵就太容易了，只要转置一下就行了。

扩展资料：

正交矩阵从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

把一个解析式变成与它恒等的另一个解析式．使用恒等变换往往是在碰到的问题比较繁杂、一时难以下手的时候，通过恒等变换把要解决的问题简化，由未知到已知，最终解决问题．所以，恒等变换的特点就是：将复杂的问题通过表达形式的变形转化成容易解决的简单问题。

它的正交性要求满足三个方程，在考虑之一个方程时，不丢失一般性而设p=cosθ,q=sinθ；因此要么t=−q，u=p要么t=q,u=−p。我们可以解释之一种情况为旋转θ(θ=0是单位矩阵)，第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。

旋转反射在45°的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0)。

正交矩阵的特征值有什么特征？

1、逆也是正交阵;

2、积也是正交阵;

3、行列式的值为正1或负1。

任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的***，它们全都必须有(复数)绝对值1。

脉冲函数的傅里叶变换？

δ(t)函数的傅里叶变换等于常数；反过来常数的傅里叶变换等于δ(t)函数，它们之间的变换关系具有对称性。

一个直角坐标方程关于原点对称怎么变换？

傅里叶变换对称性例子？

数学上也并不是巧合。

首先明确一点，对于实值信号和有对称性的纯虚复信号来说，其傅里叶变换是存在对称性的，没有对称性的纯虚信号或非纯虚复信号来说不存在对称性。

这个对称性其实就是实值信号傅里叶变换的一个重要性质：共轭对称。

推导的话大致如下：

因为任意一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。

而很容易通过将  这个形式带入到傅里叶变换的公式中可以证明：奇函数的FT是奇函数，偶函数的FT是偶函数。

引入虚函数和实函数的概念的话，也很容易证明：实偶函数的FT是实偶函数，实奇函数的FT是虚奇函数；虚偶函数的FT是虚偶函数，虚奇函数的FT是实奇函数。

进一步的，自然就可以想到，即便函数本身不具备对称性，实函数可以拆解为实偶函数+实奇函数，它的的FT是实偶函数+虚奇函数。我们知道傅里叶变换的结果是不能在一张图里面画出来的，所以在实部和虚部两张图上，都可以看到对称性。即实函数的傅里叶变换，其实部为频率的偶函数，虚部为频率的奇函数。

用以上的 也可以证明，虚偶函数的频谱为虚偶函数，虚奇函数的频谱为实奇函数，结合以上实值信号的频谱对称性可知，通常意义上的复信号不具备对称性。

ps: 如果将实值函数的FT表示为模和相位形式，结合函数的嵌套也很容易证明，模是偶函数，而相位是奇函数。