向量运算,向量运算律的推导

向量运算，向量运算律的推导？

1.向量数量积的定义是a·b=|a||b|cos<a,b>，a，b是两个向量,1他用到就是

OA‘=OAcos<向量(OA)，c0>

2.他把|c|乘在①式，而c0|c|=c，因为c0是c的单位向量向量证明：

1.当λ＞0时

(λa)·b=|λa||b|cos<λa,b>=|λ||a||b|cos<a,b>=λ|a||b|cos<a,b>=λ(a·b)

a·(λb)=|a||λb|cos<a,λb>=|a||λ||b|cos<a,b>=λ|a||b|cos<a,b>=λ(a·b)

这时，(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

当λ＜0时

(λa)·b=|λa||b|cos<λa,b>=|λ||a||b|cos（π-<a,b>）=-|λ||a||b|cos<a,b>= λ(a·b)

a·(λb)=|a||λb|cos<a,λb>=|a||λ||b|cos（π-<a,b>）=-|λ||a||b|cos<a,b>=λ(a·b)

这时，(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

当λ=0时

a·(λb)=0， λ(a·b)=0， a·(λb)=0

这时，(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

综上所得，对一切实数λ都有：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

两个向量相乘怎么求？

两个向量相乘后的方向向量叫向量积，它的大小等于这两个向量的绝对值与它们夹角正弦的乘积，方向由右手定则确定，具体 是右手拇指与其余四指垂直，握拳时四指运动的方向表示从之一向量到第二向量，拇指所指方向就是向量积的方向。如果向量是用坐标表示的，则可用行列式计算。（注意：向量a×向量b=-向量b×向量a）

知道两点求向量怎么求？

没有两点所在向量的说法 只能说两点所在直线 或者说成是两点所在直线的单位向量 你说的向量AB是要求出来的 比如设A(x1,y1) B(x2,y2) 那么OA=(x1,y1) OB=(x2,y2) 向量AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1) 这个结论是要记住的

向量的乘积是什么？

物理上的矢量，数学上有时候又把它叫做向量

经常用 表示，其 xyz 分量我们用 表示

两个矢量的「乘法」，常用的有两种定义

一种叫做内积，或者叫做点乘，或者叫做标量积， ，这种乘法的计算结果是标量（也就是纯数） ，等于两个矢量的大小（也叫做「模长」） 的乘积再乘以两个矢量夹角 的「余弦」：

把分量写出来：

所以，当两个矢量方向相同时，内积更大；方向相反时，内积最小（负值，绝对值更大）；方向垂直时，内积为零；当两个矢量交换乘法次序时，内积不变：

另一种叫做外积，或者叫做叉乘，或者叫做矢量积， ，这种乘法的计算结果是另一个矢量 ，这个矢量 的大小等于原来两个矢量的大小的乘积再乘以两个矢量夹角 （小于180度）的「正弦」： ，这个矢量的方向由「右手法则」规定：右手的四个手指指向之一个矢量 ，然后四指（以小于180度的角度）弯曲向第二个矢量 的方向，这时候大拇指方向即为外积矢量 的方向

所以，当两个矢量方向平行（相同或者相反）时，外积为零；方向垂直时，外积更大；当两个矢量交换乘法次序时，外积大小不变，方向相反

矢量外积可以利用 Levi-Civita 符号 把分量形式写出来：定义 ，而 ，如果有任意两个指标相同，等于零，例如 ，那么有 ，或者 ， ，

可见，在计算矢量外积时，a矢量的x分量绝不可能和b矢量的x分量乘在一起，三者一定是「错开」的

从中学的角度来说，矢量外积的结果垂直于原来两个矢量所组成的平面，或者说，是沿平面的「法向」；而且其方向有某种任意性，和我们的约定有关，如果不采用「右手规则」而采用「左手规则」，一切也可以成立

从本质上来说，矢量外积之所以有定义，和我们所在的三维空间的某种「旋转」特性有关，而在二维空间中，是不能定义矢量外积的（类似 定义出来的结果恒为零）

外积计算结果得到的矢量和普通的矢量有一定的区别，物理上叫做「赝矢量」或者「轴矢量」，它们在空间反射变换（即这样的操作：把xyz轴的正向变成负向，负向变成正向， ）下不变，而普通的矢量（为了和轴矢量相区别，普通的矢量又叫做「极矢量」）在空间反射变换下是要变符号的

既然外积的计算结果仍然是矢量 ，可以和另一个矢量 继续计算内积 ，这种乘法叫做「三重积」，三重积的大小（取绝对值） 等于以这三个矢量为棱所得到的平行六面体的体积

向量相乘如何理解？

向量和向量相乘有两种，向量和数相乘有一种，一共三种运算。 a和向量A相乘叫数乘 向量A·向量B叫做内积或点积，也叫数性积。 向量A×向量B叫做外积或叉积，也叫矢性积。 还有混合运算：（A×B）·C叫混合积； （A×B）×C叫二重矢性积。 运算性质有些与数的乘法类似，有些完全不同，学习时千万不要凭想当然硬套。 各个专业有不同的用法，具体使用就不说了。