正交矩阵，何谓正交矩阵？
如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置”。）则n阶实矩阵A称为正交矩阵性质：
1. 方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组；
2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3. A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4. A的列向量组也是正交单位向量组。
正交矩阵的列向量都是单位向量吗？
正交矩阵的列向量都是单位向量。
所以列向量ai是单位向量，且两两正交。
行向量组指的是矩阵每行构成一个向量，所有行构成的向量的整体称为一个行向量组。
列向量组指的是矩阵每列构成一个向量，所有列构成的向量的整体称为一个列向量组。
在线性代数中，列向量是一个 n×1 的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成：列向量的转置是一个行向量，反之亦然。所有的列向量的***形成一个向量空间，它是所有行向量***的对偶空间。
为什么说两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵？
(η1,η2,…,ηn)=(ε1,ε2,…,εn)A；
要证A正交，只要A'A=E就可以了，因为这个时候A'=A^(-1)
而A的列向量组就是η这组基在ε这组基下的坐标。
又因为η组是规范正交基，所以ηi*ηi=1,ηi*ηj=0(这里的*是指向量做内积，用矩阵乘法的结果应该是ηi*(ηi)'=0,ηi为行向量，(ηi)'为列向量)
这个时候你把A'*A写出来就是E了。
一个正交矩阵交换列还是正交矩阵吗？
正交矩阵的性质
1、逆也是正交阵
对于一个正交矩阵来说，它的逆矩阵同样也是正交矩阵。
2、积也是正交阵
如果两个矩阵均为正交矩阵，那么它们的乘积也是正交矩阵。
3、行列式的值为正1或负1
任何正交矩阵的行列式是+1或−1对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
4、在复数上可以对角化
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的***，它们全都必须有(复数)绝对值1。
5、群性质
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有n×n正交矩阵的***满足群的所有公理。它是n(n−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。
正交变换的原理？
在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。 因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。 在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。 行列式为+1和−1的正交变换分别称为之一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。 正交变换的逆变换也是正交变换，后者的矩阵表示是前者矩阵表示的逆。
